Como entender algebra

Álgebra é a area da Matemática que generaliza a aritmética (parte da matemática que lida com as operações numéricas: soma, subtração, divisão e multiplicação). Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Nos estudos de álgebra, letras são usadas para a representação de números. Essas letras podem representar números desconhecidos ou um número qualquer pertencente a um conjunto numérico.

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Álgebra é o ramo da matemática que generaliza a aritmética
Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética

O que é álgebra?

álgebra é um dos ramos da matemática que recorre a números, letras e sinais (símbolos) para generalizar as diversas operações aritméticas. Por exemplo, a adição (a+b) é comutativa (a+b=b+a), associativa, tem uma operação inversa (a subtração) e possui um elemento neutro (0).

Neste ramo, estudam-se questões que envolvem equações, operações, funções, polinômios e estruturas algébricas.

 O objetivo fundamental da álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números desconhecidos.

Propriedades das operações matemáticas

Sabendo que um número qualquer que pertence a um conjunto pode ser representado por uma letra, considere os números x, y e z como pertencentes ao conjunto dos números reais e as operações adição multiplicação representadas por “+” e “·”, respectivamente. Então, as seguintes propriedades são válidas para x, y e z:

Associatividade

 A associação dos fatores não modifica o produto:

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

Comutatividade

A ordem dos fatores não altera o produto:

x + y = y + x

x·y = y·x

Existência de elemento neutro 

Na multiplicação, o elemento neutro é o número 1. Qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. Nesse caso, um dos fatores sempre será o número + 1:

(1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x·1 = x

Existência de elemento oposto (ou simétrico)

Elemento oposto ou inverso é aquele cuja utilização numa operação binária matemática bem definida resulta no elemento neutro específico dessa operação — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional:

x + (– x) = 0

x· 1 = 1
x  

Distributividade 

Realizamos o produto do termo externo ao parênteses com os termos internos do parênteses. Observe os exemplos abaixo:

x·(y + z) = x·y + x·z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.

Expressões algébricas

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (aqueles representados por letras, uma incógnita), ela é chamada de expressão algébrica. Desta forma:

  • Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio
  • Uma expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio

Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.

Exemplo de expressões numéricas e expressões algébricas
Exemplo de expressões numéricas e expressões algébricas

Equações

As Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Ou seja, equação relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita. Confira o exemplo:

1) 2x + 4 = 0

2) 4x – 4 = 19 – 8x

3) 2x2 + 8x – 9 = 0

Funções

O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

Essa regra é representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a outra incógnita. Sendo assim, essa é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo, enquanto na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam. Confira o exemplo:

  • Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real

Nessa função, x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais.

Por sua vez, y não pode representar um número real que seja negativo, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá o resultado positivo.

  • Considere a função y = 2x, em que x é um número natural

Nessa função, x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números naturais. Esses números são os inteiros positivos, portanto, os valores que y pode assumir são os números naturais múltiplos de 2. Sendo assim, y é um representante do conjunto dos números pares.

FAQ – Perguntas frequentes

O que é álgebra?

Álgebra é a area da Matemática que generaliza a aritmética (parte da matemática que lida com as operações numéricas: soma, subtração, divisão e multiplicação). Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Quais são as propriedades das operações matemáticas?

Associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro, existência de elemento oposto (ou simétrico) e distributividade 

O que são expressões algébricas?

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (aqueles representados por letras, uma incógnita), ela é chamada de expressão algébrica. Desta forma:
Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio
Uma expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio

O que são equações?

As Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Ou seja, equação relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.
A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita. Confira o exemplo:
1) 2x + 4 = 0
2) 4x – 4 = 19 – 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0

O que são funções?

O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

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