Como entender análise combinatória

análise combinatória é a área da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

A análise combinatória é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, por exemplo, fazendo assim, a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

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A análise combinatória é a área da matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem
análise combinatória é a área da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem

Princípio Fundamental da Contagem

princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, entende que:

“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.

Ou seja, no princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

Desta forma, confira o exemplo:

Uma lanchonete vende uma promoção de combo a um preço único. No combo, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida existem duas opções: suco de maçã ou guaraná. No caso da sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Desta forma, existem variadas formas de montar um combo.

Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis, uma vez que 3.2.4 = 24

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No princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas

O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem, porém, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.

Tipos de Combinatória

Existem três tipos de agrupamentos na análise combinatória: arranjos, combinações e permutações.

Para entende-los, é preciso antes definir o conceito fatorial: fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores, simbolizado por (!).

O fatorial de zero é igual a 1. Desta forma:

0! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800

O valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.

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Arranjos

Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Sendo assim, para obter o arranjo simples de algum elemento tomados, p a p (p ≤ n).

Um exemplo palpável de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice representante. Ou seja, de quantas maneiras distintas a escolha pode ser feita?

O arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.

Fórmula de arranjos
Fórmula de arranjos

Permutações

As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. A permutação é um caso especial de arranjo, que ocorre quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Sendo assim, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.

Fórmula da permutação
Fórmula da permutação

Combinações

As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.

Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:

Fórmula de combinação
Fórmula de combinação

Análise Combinatória e Probabilidade

Análise combinatória e probabilidade permitem analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado em um experimento. Por exemplo, quais as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria.

Desta forma, podemos dizer que a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de eventos favoráveis.

Sendo que:

P (A): probabilidade de ocorrer um evento A
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis

Fórmula analise combinatória e probabilidade
Fórmula analise combinatória e probabilidade

Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas estudadas em análise combinatória.

FAQ – Perguntas frequentes

O que é analise combinatória?

É a área da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

Qual é o princípio fundamental da contagem?

No princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas

Quais os tipos de combinatória?

Existem três tipos de agrupamentos na análise combinatória: arranjos, combinações e permutações.

O que é análise combinatória e probabilidade?

Análise combinatória e probabilidade permitem analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado em um experimento. Por exemplo, quais as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria.

O que são arranjos?

Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Sendo assim, para obter o arranjo simples de algum elemento tomados, p a p (p ≤ n).

O que são permutações?

As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. A permutação é um caso especial de arranjo, que ocorre quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Sendo assim, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.

O que são combinações?

As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.

Onde a analise combinatória e probabilidade são usada?

A análise combinatória é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, por exemplo, fazendo assim, a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

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