O que é a Determinante de Vandermonde? Entenda Tudo Aqui

A Determinante de Vandermonde é uma determinante especial que recebe esse nome em homenagem ao matemático francês Alexandre-Théophile Vandermonde. Essa determinante é usada para descrever certas propriedades e relações em álgebra linear.

Em álgebra, o determinante de Vandermonde de um conjunto ordenado de N variáveis. Ela também é também denominado polinômio de Vandermonde, pois é o determinante da matriz de Vandermonde.

Essa determinante é interessante porque possui várias propriedades úteis e aplicações em diferentes áreas da matemática e ciência da computação.

Por exemplo, é usada na interpolação polinomial, em teoria dos números, teoria de códigos, processamento de sinais e geometria algébrica. Vamos falar sobre a Determinante de Vandermonde e, se ficar com dúvidas, é só deixar nos comentários.

Contexto Histórico

A determinante de Vandermonde foi introduzida e estudada pelo matemático francês Alexandre-Théophile Vandermonde no final do século XVIII. Vandermonde nasceu em 1735 e foi um dos matemáticos proeminentes de sua época. A determinante de Vandermonde recebeu esse nome em homenagem a Vandermonde devido às suas contribuições significativas no estudo dessa forma especial de determinante.

A história por trás da descoberta da determinante de Vandermonde não é muito clara, mas sabe-se que Vandermonde trabalhou extensivamente em interpolação polinomial. Ele estava interessado em encontrar uma forma de representar polinômios e suas propriedades de maneira mais eficiente e generalizada.

Durante seus estudos, Vandermonde observou um padrão nas diferenças entre as raízes de polinômios e percebeu que era possível expressar essa relação em termos de uma determinante especial. Essa determinante, que ficou conhecida como determinante de Vandermonde, capturou a relação entre os coeficientes dos polinômios e as raízes correspondentes.

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Vandermonde publicou seus resultados sobre a determinante de Vandermonde em seu trabalho intitulado “Mémoire sur la résolution des équations” em 1771. Esse trabalho foi um marco importante no desenvolvimento da teoria das equações polinomiais e estabeleceu a importância da determinante de Vandermonde em diversas áreas da matemática.

Desde então, a determinante de Vandermonde tem sido extensivamente estudada e aplicada em vários campos da matemática e ciência da computação. Sua descoberta representa uma contribuição significativa de Vandermonde para o campo da álgebra linear e continua a ser um tópico relevante até os dias de hoje.

Como Calcular a Determinante de Vandermonde

A determinante de Vandermonde é definida para uma matriz de tamanho n × n, onde os elementos são dados por aᵢʲ = xᵢᵢʲ, sendo x₁, x₂, …, xₙ os coeficientes do polinômio e i e j são os índices da matriz. Matematicamente, a determinante de Vandermonde é expressa como:

Det(V) = | a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a₁ₙ | | a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a₂ₙ | | … … … … | | aₙ₁ aₙ₂ aₙ₃ … aₙₙ |

A fórmula geral para a determinante de Vandermonde é:

Det(V) = ∏ (xᵢ – xⱼ), onde i < j e i,j variam de 1 a n.

Chamamos de matriz de Vandermonde a toda matriz quadrada de ordem n x n , ou seja, com n linhas e n colunas, da forma geral, como no exemplo:

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Observe que na matriz de Vandermonde acima, temos:

  1. a primeira linha composta por bases do tipo ai elevado a zero, ou seja, a1, a2, … , an elevadas ao expoente zero e portanto são todas iguais a 1, uma vez em que a0 = 1 para todo conjunto dos números reais.
  2. a segunda linha, por sua vez, é composta por bases do tipo ai elevado à unidade, ou seja, a1, a2, … , an elevadas ao expoente um e portanto são todas iguais a si próprio, pois a1 = a para todo conjunto dos números reais.

Sendo assim, a matriz acima pode ser reescritada seguinte forma:

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Numa matriz de Vandermonde, os elementos a1, a2, a3, … , an são denominados elementos característicos da matriz. Confira o exemplo:

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Os elementos característicos são 5, 6 e 7. Observe que a matriz é de Vandermonde pois na terceira linha os elementos são obtidos da segunda linha, quadrando cada termo, da seguinte forma:
25 = 52, 36 = 62 e 49 = 72.

O determinante de uma matriz de Vandermonde pode ser obtido ao ser multiplicado por todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos (ai – ak) com a condição de que i seja maior que k. Assim, por exemplo, na matriz acima, o determinante será igual a: |M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2. Veja mais um exemplo:

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Como os elementos característicos são 5, 3, 2 e 4, o determinante será igual a:

|D| = (3 – 5).(2 – 5).(2 – 3).(4 – 5).(4 – 3).(4 – 2) = (-2).(-3).(-1).(-1).1.2 = 12.

Vale lembrar que esse cálculo se aplica apenas a matrizes de Vandermonde. Como o determinante de Vandermonde é obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis (ai – ak) entre os elementos característicos, com a condição que i > k, podemos concluir que se pelo menos dois dos elementos característicos forem iguais entre si, o determinante será nulo, pois aparecerá um zero no produto. Exemplo:

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Então, se x for igual a 5 ou a 7, o determinante de Vandermonde acima, será nulo.

Fonte: Paulo Marques

Determinante de Vandermonde bidimensional

A determinante de Vandermonde bidimensional é usada para a interpolação bidimensional. Para um conjunto de pontos (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), onde os xᵢ e yᵢ são distintos, a determinante de Vandermonde bidimensional é dada por:

Det(V) = ∏ ∏ (xⱼ – xᵢ) * (yₖ – yᵢ),

onde o primeiro produto é em relação aos índices i e j variando de 1 a n, e o segundo produto é em relação aos índices i e k variando de 1 a n.

Interpolação polinomial

A determinante de Vandermonde é amplamente utilizada na interpolação polinomial, que é o processo de encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. A partir dos pontos de interpolação, a determinante de Vandermonde pode ser calculada para encontrar os coeficientes do polinômio interpolador.

Além disso, a determinante de Vandermonde também é usada para estudar a unicidade e a estabilidade da interpolação polinomial. A sua fórmula é:

Dado um conjunto de pontos (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), onde os xᵢ são distintos, o polinômio interpolador p(x) que passa por esses pontos pode ser expresso usando a determinante de Vandermonde como:

p(x) = ∑ (yⱼ * Det(Vⱼ)) / Det(V),

onde Vⱼ é uma matriz de Vandermonde formada pelos pontos (x₁, x₂, …, xⱼ, …, xₙ) e Det(V) é a determinante de Vandermonde calculada com os xᵢ.

Propriedades e cálculo

A determinante de Vandermonde possui várias propriedades úteis. Por exemplo, se os elementos da matriz forem números reais ou complexos, a determinante de Vandermonde é sempre não negativa. Além disso, a determinante de Vandermonde é nula se e somente se existirem duas linhas (ou colunas) idênticas na matriz. O cálculo da determinante de Vandermonde pode ser feito de forma eficiente, utilizando técnicas como a expansão por cofatores ou a decomposição LU.

Aplicações adicionais

Além da interpolação polinomial, a determinante de Vandermonde tem aplicações em outras áreas da matemática e ciência da computação. Por exemplo, é utilizada na teoria de códigos para construir códigos corretivos de erros e na teoria dos números para estudar as propriedades das sequências numéricas. Também é empregada em processamento de sinais, particularmente em problemas de estimação de parâmetros e ajuste de curvas.

Extensões e generalizações

A determinante de Vandermonde tem várias extensões e generalizações que foram desenvolvidas ao longo do tempo. Por exemplo, existem determinantes de Vandermonde bidimensionais, tridimensionais e multivariadas, que lidam com conjuntos de pontos em dimensões superiores. Também existem determinantes de Vandermonde com parâmetros adicionais, que permitem uma maior flexibilidade na formulação de polinômios interpoladores.

FAQ – Perguntas frequentes

O que é o determinante de Vandermonde?

Em álgebra, o determinante de Vandermonde de um conjunto ordenado de n variáveis, nomeado após o matemático e pensador, Alexandre-Théophile Vandermonde.
É também denominado polinômio de Vandermonde, pois é o determinante da matriz de Vandermonde.

Como é determinada uma matriz de Vandermonde?

O determinante de uma matriz de Vandermonde pode ser obtido ao ser multiplicado por todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos (ai – ak) com a condição de que i seja maior que k. Assim, por exemplo, na matriz acima, o determinante será igual a: |M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2.

Porque esse cálculo só é válido para matrizes Vandermonde?

Como o determinante de Vandermonde é obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis (ai – ak) entre os elementos característicos, com a condição que i > k, podemos concluir que se pelo menos dois dos elementos característicos forem iguais entre si, o determinante será nulo, pois aparecerá um zero no produto.

O que é uma matriz Vandermonde?

Em álgebra linear, uma matriz de Vandermonde, cujo nome faz referência a Alexandre-Théophile Vandermonde, é uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica. Uma matriz de Vandermonde de ordem m × n tem a forma geral.

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