Geometria Espacial: Tudo sobre Conceitos, Formas e Fórmulas

Em matemática, geometria espacial é o nome usado para estudar a geometria do espaço tridimensional euclidiano. Espaço euclidiano trata-se de um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno. Seu nome deriva do matemático e filósofo grego Euclides, que estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “Geometria euclidiana”, o que é o estudo das relações entre ângulos e distâncias no espaço.

Desta forma, podemos dizer que a geometria espacial corresponde a área da matemática é encarregada de estudar as figuras no espaço, sendo essas figuras, aquelas que possuem mais de duas dimensões. Para estudar geometria espacial, é aconselhável que se estude antes a geometria plana, pois alguns dos conceitos e fundamentos devem ser bem compreendidos para que não hajam dúvidas em relação a geometria espacial! Se ficar com dúvidas, é só deixar nos comentários.

Conceitos na Geometria Espacial

Como dito antes, a geometria espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Esses objetos recebem o nome de “sólidos geométricos” ou “figuras geométricas espaciais“. Dentre eles, tratamos dos principais:

  • prisma
  • cubo
  • paralelepípedo
  • pirâmide
  • cone
  • cilindro
  • esfera

Sendo assim, dizemos que a geometria espacial é capaz de determinar o volume destes mesmos objetos, o espaço ocupado por eles. O estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, que já estudamos lá na geometria plana, mas vamos relembrar aqui:

  • Ponto: os pontos são infinitos e não possuem dimensão adimensional, sua única propriedade garantida é sua localização
  • Reta: composta por pontos, é infinita e determina a distância entre dois pontos determinados
  • Semirreta: uma porção de uma reta que tem início em um ponto qualquer e segue para uma de suas direções, a semirreta, ao contrario da reta, tem um início mas não possuí um fim
  • Segmento de reta: um “pedaço” da reta, delimitado por dois pontos
  • Linha: assim como a reta, é infinita para cada lado, porém, é caracterizada pela propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma
  • Plano: estrutura infinita que se estende em todas as direções
Conceitos básicos da geometria
Conceitos básicos da geometria

Relações Espaciais e Raciocínio Espacial

Relações espaciais são simplesmente as relações de objetos no espaço. Isso inclui a relação desses objetos uns com os outros e sua relação conosco. Os primeiros conceitos espaciais, como na frente, atrás, em cima, embaixo, em cima, embaixo, por último, entre, mais longe, atrás, dentro, em, etc. perguntas e expressar nossas ideias para os outros. A compreensão de conceitos e relacionamentos espaciais geralmente é fundamental para entender a matemática e geometria.

Já o raciocínio espacial é definido como a capacidade de imaginar coisas em três dimensões. Inclui a capacidade de mover objetos em sua mente. Esse tipo de raciocínio tem se mostrado muito benéfico para o estudo e entendimento da geometria especial. Isso os ajuda a desenvolver suas habilidades matemáticas melhor do que os exercícios tradicionais de número de papel e caneta. Para entender como desenvolver o raciocínio espacial, algumas perguntas podem ser feitas:

  • Você pode me mostrar como você preencheu esta forma?
  • O que caberia ali? (apontando para um ângulo no quadro)
  • O que acontecerá se você virar/girar esta forma?
  • Se virarmos isso, ainda é a mesma forma?
  • Você pode construir isso de outra maneira usando mais/menos formas?
  • De quantas maneiras diferentes você pode preencher esse contorno de forma?
  • Que outras formas têm quatro lados/três vértices? etc.
  • O que você observa sobre os comprimentos dos lados? Eles são iguais ou diferentes?
  • Você pode substituir um losango/trapézio/hexágono por qualquer uma das formas que você usou
  • O que há de igual/diferente nesses dois triângulos?
  • Qual a diferença entre quadrados e retângulos? Que tal um triângulo e um losango?

Figuras na Geometria Espacial

Existem diversas figuras geométricas espaciais, pode-se dizer até que existam mais que possamos imaginar. No entanto, sempre estudamos as mais conhecidas. São elas o cubo, dodecaedro, tetraedo, octaedro, icosaedro e o prisma. Confira:

Cubo

O cubo é definido como um um hexaedro regular. Essa figura é composta de 6 faces quadrangulares, isto é, que tem 4 ângulos, 12 arestas e 8 vértices. As formulas para calcular o volume de um cubo são:

Área lateral: 4a2
Área total: 6a2
Volume: a.a.a = a3

Elementos de um cubo na geometria espacial
Elementos de um cubo na geometria espacial

Dodecaedro

O Dodecaedro é definido como sendo um poliedro regular. Ele é composto por 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo sua formula:

Área Total: 3√25+10√5a2
Volume: 1/4 (15+7√5) a3

Dodecaedro em forma geométrica espacial
Dodecaedro em forma geométrica espacial

Tetraedro

O Tetraedro é um poliedro regular. Definido por ser um composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices. A formula do volume do tetraedro é:

Área total: 4a2√3/4
Volume: 1/3 Ab.h

Tetraedro em forma geométrica espacial
Tetraedro em forma geométrica espacial

Octaedro

O Octaedro, por sua vez, é definido como um poliedro regular de 8 faces, que são formadas por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 vértices. A formula de volume do octaedro é:

Área total: 2a2√3
Volume: 1/3 a3√2

Octaedro em forma geométrica espacial e em sua forma planificada
Octaedro em forma geométrica espacial e em sua forma planificada

Icosaedro

O Icosaedro é um poliedro convexo, definido por ser composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices sendo suas formulas:

Área total: 5√3a2
Volume: 5/12 (3+√5) a3

Icosaedro em sua forma geométrica espacial
Icosaedro em sua forma geométrica espacial

Prisma

O Prisma é um poliedro definido por ser um composto de duas faces paralelas que formam a base. Ele pode ser ser triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonal.

Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º.

Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h

Onde:
Ab: Área da base
h: altura

Forma geométrica espacial prisma reto e oblíquo
Forma geométrica espacial prisma reto e oblíquo

Pirâmide

A pirâmide, por sua vez é um poliedro definido por ser composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular ou paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas essas faces laterais triangulares.

Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Sua inclinação pode ser classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º).

Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h

Sendo que:

Al: Área lateral
Ab: Área da base
h: altura

Forma geométrica espacial pirâmide
Forma geométrica espacial pirâmide

Para não esquecer

Fórmulas de geometria espacial
Fórmulas de geometria espacial

A geometria espacial é o estudo de objetos sólidos no espaço, ou seja, é a geometria que trata de objetos tridimensionais. Diferente da geometria plana, que é o estudo de figuras bidimensionais. Ambas surgem com base em conceitos primitivos, sendo eles: ponto, reta, plano, etc.

Resolva o exercício do Enem 2015:

Para resolver o problema de abastecimento de água, foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna, a antiga será desativada. (Utilize 3,0 como aproximação para π.)

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5
b) 1,0
c) 2,0
d) 3,5
e) 8,0

Alternativa correta na questão do ENEM: c) 2,0

Resolva esse Exercício da IFG – Instituto Federal de Goiás

As medidas internas de um reservatório no formato de um paralelepípedo são de 2,5 m de comprimento, 1,8 m de largura e 1,2 m de profundidade (altura). Se, em um determinado momento do dia, esse reservatório está apenas com 70% de sua capacidade, a quantidade de litros que faltam para enchê-lo é igual a:

a) 1620
b) 1630
c) 1640
d) 1650
e) 1660

Alternativa correta na questão do IFG: a) 1620

O que é geometria espacial?

A Geometria Espacial estuda as figuras no espaço que possuem três dimensões, ou seja, altura, largura e comprimento. A Geometria Espacial estuda as figuras geométricas no espaço. Usando a localização de pontos, é possível desenhar linhas no espaço que formam planos e definem formas e estruturas geométricas.

A geometria inclui o raciocínio espacial?

Claramente, a geometria e o raciocínio espacial estão fortemente inter-relacionados, e a maioria dos educadores matemáticos parece incluir o raciocínio espacial como parte do currículo de geometria.

O que é relação espacial em geometria?

As relações espaciais exploram o conceito de onde os objetos estão em relação a outra coisa. Por exemplo, uma bola pode estar atrás da cadeira, embaixo da mesa ou na caixa. O cachorro pode estar sobre o cobertor, sob ele, fora da casinha, em cima dela ou dentro da casinha e etc.

Quais são exemplos de conceitos espaciais?

À medida que nossa linguagem começa a se desenvolver, os primeiros conceitos espaciais, como na frente, atrás, em cima, embaixo, em cima, embaixo, por último, entre, mais longe, atrás, dentro, em, etc. perguntas e expressar nossas ideias para os outros.

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