Geometria Plana: Tudo o que Você Precisa Saber [ESTUDO COMPLETO]

geometria plana ou euclidiana é o estudo na matemática sobre as figuras que não possuem volume, ou seja, são planas. O nome euclidiana vem do matemático e geômetra Euclides de Alexandria como uma forma de homenagem, uma vez que ele é considerado o “pai da geometria”.

As figuras planas são superfícies fechadas por segmentos de retas (no mínimo três). Todas as formas geométricas tidas como planas possuem fórmulas matemáticas específicas para seu perímetro e área, já que elas não apresentam volume. Confira como entender geometria plana nos próximos tópicos e mais assuntos referentes a matemática no nosso site e, se você ficar com dúvidas, é só deixar aí nos comentários.

Geometria Plana

A geometria é o ramo da matemática que lida com formas, ângulos, dimensões e tamanhos de uma variedade de coisas que vemos na vida cotidiana. A geometria é derivada de palavras do grego antigo – ‘Geo’ significa ‘Terra’ e ‘metron’ significa ‘medição’. Na geometria euclidiana, existem formas bidimensionais e formas tridimensionais .

Em uma geometria plana, formas 2D como triângulos, quadrados, retângulos e círculos também são chamadas de formas planas. Na geometria sólida, as formas 3D, como cubo, paralelepípedo, cone, etc., também são chamadas de sólidos. A geometria básica é baseada em pontos, linhas e planos explicados na geometria de coordenadas.

Aqui vamos conferir alguns conceitos são de grande importância para o entendimento pleno da geometria plana. Ponto, reta, segmento de reta, plano, ângulos, área e perímetro, com suas respectivas definições são fundamentais para o calculo na geometria euclidiana.

Ponto

O ponto é um conceito adimensional, ou seja, que não possui dimensão. Os pontos são responsáveis por determinar uma localização e são indicados com letras maiúsculas.

Reta

Já a reta, é representada por letras minúsculas. Trata-se de uma linha infinita unidimensional e pode ser apresentada em três posições:

  • horizontal;
  • vertical e;
  • inclinada.

Quando retas se cruza, ou seja possuem algum ponto em comum, recebem o nome de retas concorrentes. Quando não possuem pontos em comum, são chamadas de paralelas. Observe no exemplo pontos e retas:

Pontos em uma reta
Pontos em uma reta
Retas paralelas
Retas paralelas

Segmento de Reta

Diferente da reta que vimos antes, o segmento de reta é limitado pois corresponde a um intervalo determinado entre dois pontos. A semirreta, por sua vez, possui início mas não possui fim. Sendo assim, confira o exemplo:

Os sinais - e -> a cima das letras referentes aos pontos, são usados para determinar esses intervalos
Os sinais – e -> a cima das letras referentes aos pontos, são usados para determinar esses intervalos

Plano

O plano corresponde a uma superfície plana bidimensional, dotada de comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. O plano é formado por um conjunto de retas concorrentes e os pontos de encontro entre elas. Veja no exemplo:

Planos podem formar qualquer figura geométrica
Planos podem formar qualquer figura geométrica

Ângulos

Os ângulos, por sua vez, são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, que são chamado de vértice do ângulo. Podem ser classificados em:

  • ângulo reto (menor que 90º)
  • ângulo agudo (igual a 90º)
  • ângulo obtuso (maior que 90º)
  • ângulo raso (igual a 180°)
Exemplo de ângulos
Exemplo de ângulos

O ângulo reto é representado dentro das figuras geométricas como um quadrado e um ponto no centro, você vai perceber ao longo dos próximos exemplos.

Perímetro e Área

O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Já a área de uma figura geométrica é referente ao tamanho de uma superfície específica. Desta forma, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área. Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).

Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Se por exemplo, vamos encontrar o perímetro de um triângulo, então precisamos somar as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados, e assim por diante, seguindo as fórmulas de cada figura geométrica. Confira no exemplo:

Diferentes figuras geométricas possuem diferentes modos de calcular a área
Diferentes figuras geométricas possuem diferentes modos de calcular a área

Figuras da Geometria Plana

Triângulo

O triângulo é um polígono, ou seja, uma figura plana fechada de três lados, como o próprio nome indica, possuí três ângulos. Sendo assim, podemos dizer que o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta. A forma dos triângulos é classificada em:

  • triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais
  • triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes
  • triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes
Fórmulas de triângulos
Fórmulas de triângulos

Os ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

  • triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°
  • triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°
  • triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°

Quadrado

O quadrado é um polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos.

Área e perímetro  de um quadrado
Área e perímetro de um quadrado

Retângulo

Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos maiores e os outros dois paralelos menores. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°), assim como os quadrados.

Área de um retângulo
Área de um retângulo

Círculo

O circulo é uma categoria quase a parte: trata-se de uma figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo é a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

Área de um circulo
Área de um circulo

Trapézio

O trapézio é chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, sendo também, o trapézio é uma figura geométrica plana. Ele possui dois lados e bases paralelas, em que uma é maior e outra menor. São classificados em:

  • trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º
  • trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida
  • trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes
Tipos de trapézios
Tipos de trapézios
Área do trapézio
Área do trapézio

Losango

O Losango é um quadrilátero equilátero, ou seja, é formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo.

Área de um losango
Área de um losango

Geometria Sólida (Geometria Tridimensional)

A Geometria Sólida lida com objetos tridimensionais como cubos, prismas, cilindros e esferas. Ele lida com três dimensões da figura, como comprimento, largura e altura. Mas alguns sólidos não têm faces (por exemplo, esfera). A geometria sólida é o estudo de três dimensões no espaço euclidiano. Os objetos que estão ao nosso redor são tridimensionais. Todas as formas tridimensionais são obtidas a partir da operação de rotação de formas 2D. Os atributos importantes das formas 3D são:

  • Faces
  • Arestas
  • Vértices

Veja esses termos em detalhes para diferentes formas geométricas aqui.

Arestas/Borda

Uma borda é definida como o segmento de linha no limite que une um vértice ao outro vértice. Significa que une um ponto de canto ao outro. Ele forma o esqueleto de formas 3D. Em outras palavras, pode ser definido como as faces, que se encontram na linha reta é chamada de aresta. A seguir está a lista de arestas para as diferentes formas sólidas:

Formas SólidasNº de. Arestas
Prisma triangular9
Cubo12
Prisma Retangular12
Prisma Pentagonal15
Prisma Hexagonal18
Pirâmide Triangular6
Pirâmide Quadrada8
Pirâmide Pentagonal10
Pirâmide Hexagonal12

Faces

Sabemos que todas as formas geométricas são formadas por superfícies planas chamadas faces. É uma superfície plana delimitada pelas bordas. Para quaisquer formas tridimensionais, o rosto deve ser uma figura bidimensional. A lista do número de faces para diferentes formas sólidas é fornecida abaixo:

Formas SólidasNº de. Faces
Prisma triangular5
Cubo6
Prisma Retangular6
Prisma Pentagonal7
Prisma Hexagonal8
Pirâmide Triangular4
Pirâmide Quadrada5
Pirâmide Pentagonal6
Pirâmide Hexagonal7

Vértices

Um vértice é definido como o ponto onde as arestas da figura sólida se encontram. Em outras palavras, pode-se dizer que, o ponto onde os lados adjacentes do polígono se encontram. O vértice são os cantos onde as arestas se encontram. O número de vértices para diferentes formas sólidas em geometria é o seguinte:

Formas SólidasNº de. Vértices
Prisma triangular6
Cubo8
Prisma Retangular8
Prisma Pentagonal10
Prisma Hexagonal12
Pirâmide Triangular4
Pirâmide Quadrada5
Pirâmide Pentagonal6
Pirâmide Hexagonal7

Definição Histórica da Geometria Plana

Geometria euclidiana, o estudo de figuras planas e sólidas com base em axiomas e teoremas empregados pelo matemático grego Euclides (c. 300 AC). Em seu esboço, a geometria euclidiana é a geometria plana e sólida comumente ensinada nas escolas secundárias. De fato, até a segunda metade do século XIX, quando as geometrias não euclidianas atraíram a atenção dos matemáticos, “geometria” era sinônimo de “geometria euclidiana”. É a expressão mais típica do pensamento matemático geral.

Em vez da memorização de algoritmos simples para resolver equações de cor, exige uma visão verdadeira do assunto, ideias inteligentes para aplicar teoremas em situações especiais, capacidade de generalizar a partir de fatos conhecidos e insistência na importância da prova. Na grande obra de Euclides, os Elementos, as únicas ferramentas empregadas para construções geométricas eram a régua e o compasso – uma restrição mantida na geometria euclidiana elementar até hoje.

Em sua rigorosa organização dedutiva, os Elementos permaneceram como o próprio modelo de exposição científica até o final do século XIX, quando o matemático alemão David Hilbert escreveu seu famoso Fundações da Geometria (1899). A versão moderna da geometria euclidiana é a teoria dos espaços euclidianos (coordenado) de múltiplas dimensões, onde a distância é medida por uma generalização adequada do teorema de Pitágoras.

Fundamentos

Euclides percebeu que um desenvolvimento rigoroso da geometria deve começar com as fundações. Assim, ele começou os Elementos com alguns termos indefinidos, como “um ponto é aquilo que não tem parte” e “uma linha é um comprimento sem largura”. Partindo desses termos, ele definiu outras ideias como ângulos, círculos, triângulos e vários outros polígonos e figuras. Por exemplo, um ângulo era definido como a inclinação de duas linhas retas, e um círculo era uma figura plana que consistia em todos os pontos que tinham uma distância fixa (raio) de um determinado centro.

Como base para outras deduções lógicas, Euclides propôs cinco noções comuns, como “coisas iguais à mesma coisa são iguais”, e cinco princípios improváveis, mas intuitivos, conhecidos como postulados ou axiomas. Dito em termos modernos, os axiomas são os seguintes:

  • 1. Dados dois pontos, existe uma reta que os une.
  • 2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente.
  • 3. Um círculo pode ser construído quando um ponto para seu centro e uma distância para seu raio são dados.
  • 4. Todos os ângulos retos são iguais.
  • 5. Se uma linha reta caindo em duas linhas retas faz os ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontrarão naquele lado em que os ângulos são menores que os dois ângulos retos.

Já Hilbert refinou os axiomas (1) e (5) como segue:

  • 1. Para quaisquer dois pontos diferentes, (a) existe uma linha contendo esses dois pontos, e (b) esta linha é única.
  • 5. Para qualquer linha L e ponto p não em L, (a) existe uma linha que passa por p não encontrando L, e (b) esta linha é única.

O quinto axioma ficou conhecido como o “postulado paralelo”, uma vez que forneceu uma base para a unicidade de linhas paralelas. Também atraiu grande interesse porque parecia menos intuitivo ou auto-evidente do que os outros. No século 19, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai e Nikolay Lobachevsky começaram a experimentar esse postulado, finalmente chegando a novos, não euclidianos, geometrias. Todos os cinco axiomas forneceram a base para numerosas declarações prováveis, ou teoremas, sobre os quais Euclides construiu sua geometria. O restante deste artigo explica brevemente os teoremas mais importantes do plano euclidiano e da geometria sólida.

FAQ – Perguntas frequentes

O que é geometria plana?

geometria plana ou euclidiana é o estudo na matemática sobre as figuras que não possuem volume, ou seja, são planas.

O que é ponto?

O ponto é um conceito adimensional, ou seja, que não possui dimensão. Os pontos são responsáveis por determinar uma localização e são indicados com letras maiúsculas.

O que é ângulo?

Os ângulos, por sua vez, são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, que são chamado de vértice do ângulo.

O que é perímetro?

O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Desta forma, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área e, portanto, maior o perímetro.

Agora que você já sabe como entender geometria plana, não deixe de compartilhar e nos seguir nas redes sociais para acompanhar outros assuntos!

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