Relação entre Matriz e Sistema Linear

Para entender a relação entre matriz e sistema linear, precisamos antes entender os conceitos separadamente. Desta forma:

Podemos definir matriz como uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical). A função das matrizes é relacionar dados numéricos.

Já um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.

Confira assuntos semelhantes aqui.

Para entender a relação entre matriz e sistema linear, precisamos antes entender os conceitos separadamente
Para entender a relação entre matriz e sistema linear, precisamos antes entender os conceitos separadamente

Matriz

Como dito antes, matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).

A principal função das matrizes é relacionar dados numéricos. Portanto, o conceito de matriz não é só importante na matemática, mas também em outras áreas já que as matrizes têm diversas aplicações.

Representação de uma matriz

Na representação de uma matriz, os números reais geralmente são elementos inseridos entre colchetes, parênteses ou barras.

Confira o Exemplo

Venda dos bolos de uma confeitaria no primeiro bimestre do ano.

ProdutoJaneiroFevereiro
Bolo de chocolate500450
Bolo de morango450490

Essa tabela apresenta dados em duas linhas (tipos de bolo) e duas colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz 2 x 2, onde:

A = 500 450

450 490

Elementos de uma matriz

As matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta das informações.

Uma matriz qualquer, representada por m x n, é composta por elementos aij, onde i representa o número da linha e j o número da coluna que localizam o valor.

Por Exemplo: Elementos da matriz de venda da confeitaria.

aijElementoDescrição
a11500Elemento da linha 1 e coluna 1 (bolos de chocolate vendidos em janeiro)
a12450Elemento da linha 1 e coluna 2 (bolos de chocolate vendidos em fevereiro)
a21450Elemento da linha 2 e coluna 1 (bolos de morango vendidos em janeiro)
a22490Elemento da linha 2 e coluna 2 (bolos de morango vendidos em fevereiro)

Tipos de matrizes

Matrizes especiais

Matriz linhaMatriz de uma linha
Matriz colunaMatriz de uma coluna
Matriz nulaMatriz de elementos iguais a zero
Matriz quadradaMatriz com igual número de linhas e colunas

Matriz identidade

Quando os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplo: Matriz identidade 3 x 3.

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Matriz inversa

Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade In, ou seja, A.B = B.A = In.

Exemplo: A matriz inversa de B é B-1.

B = 2 1 e B -1 = 3 -1
5 3 e -5 2

A multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade, In.

B.B -1 = 2 1 . 3 -1 = 2.3+1.(-5) 2.(-1)+1.2 =
5 3 -5 2 5.3+ 3.(-5) 5.(-1)+3.2

= 6-5 (-2) + 2 = 1 0 = In
15 – 15 (-5) + 6 = 0 1

Matriz transposta

É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida.

Exemplo: Bt é a matriz transposta de B.

B = 1 0
0 1
1 2

Bt = 1 0 1
0 1 2

Matriz oposta

É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida.

Exemplo: – A é a matriz oposta de A.

A = 1 3 -2 0
-3 4 0 -1
5 1 -4 2

– A = -1 -3 2 0
3 -4 0 1
-5 -1 4 -2

A soma de uma matriz com a sua matriz oposta resulta em uma matriz nula.

Igualdade de matrizes

Matrizes que são do mesmo tipo e possuem elementos iguais.

Exemplo: Se a matriz A é igual a matriz B, então o elemento d corresponde ao elemento 4.

A = 1 2
3 4

B = 1 2
3 d

Operações entre Matrizes

Adição de matrizes

Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.

Exemplo: A soma entre os elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

1 3 + 2 0 = 1 + 2 3 + 0 = 3 3
-1 0 3 -1 (-1) 3 0 + (-1) 2 -1

Propriedades

  • Comutativa: A + B = B + A
  • Associativa:  (A + B) + C = A + (B +C)
  • Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0
  • Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, se 0 for uma matriz nula de mesma ordem que A

Subtração de matrizes

Uma matriz é obtida pela subtração dos elementos de matrizes de mesmo tipo.

Exemplo: A subtração entre elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

1 0 – 2 1
2 3 0 4

1 0 + -2 -1 = 1+(-2) 0+(-1) = -1 -1
2 3 0 -4 2 + 0 3 +(-4) 2 -1

Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois A – B = A + (-B)

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Exemplo: Multiplicação entre a matriz 3 x 2 e a matriz 2 x 3.

2 1 . = 2.0 + 1.+2 2.3+1.1 2.4+1.3 =
0 3 0 3 4 0.0 + 3 2 0.3+1.1 0.4+3.3
1 1 2 1 3 1.0 + 1.2 1.3+ 1.1 1.4 +1.3

= 0 +2 6+1 8+3 2 7 11
0 + 6 0+3 0+ 9 6 3 9
0 +2 3+1 4 + 3 2 4 7

Propriedades

  • Associativa: A . (B.C) = (A.B). C
  • Distributiva à direita: A . (B +C) = A .B + A . C
  • Distributiva à esquerda: (B + C) . A = B .A + C . A
  • Elemento neutro: A . In = In . A = A, onde In é a matriz identidade

Multiplicação de matriz por um número real

Obtém-se uma matriz onde cada elemento da matriz conhecida foi multiplicado pelo número real.

Exemplo:

A = 2 1 3
4 2 1

2 . A = 2.2 2.1 2.3 = 4 2 6
2.4 2.2 2.1 8 4 2

Propriedades

Utilizando números reais, m e n, para multiplicar matrizes do mesmo tipo, A e B, temos as seguintes propriedades:

  • m . (n . A) = (m . n) . A
  • m . (A + B) = m . A + m . B
  • (m + n) . A = m . A + n . A
  • 1 . A = A

Matrizes e determinantes

Um número real recebe o nome de determinante quando está associado a uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada pode ser representada por Am x n, onde m = n.

Determinante de matrizes de ordem 1

Uma matriz quadrada de ordem 1 possui apenas uma linha e uma coluna. Sendo assim, o determinante corresponde ao próprio elemento da matriz.

Exemplo: O determinante da matriz [5] é 5.

det X = [5] = 5

Determinante de matrizes de ordem 2

Uma matriz quadrada de ordem 2 possui duas linhas e duas colunas. Uma matriz genérica é representada por:

A = a11  a22
a22 a11

A diagonal principal corresponde aos elementos a11 e a22. Já a diagonal secundária tem os elementos a12 e a21.

O determinante da matriz A pode ser calculado da seguinte forma: det A = a11 . a22 – a21 . a12

Exemplo: O determinante da matriz M é 7.

M = 1 2
3 -1

det M = 1 . (-1) – 2 . 3

det M = – 1 – 6

det M = -7

Determinante de matrizes de ordem 3

Uma matriz quadrada de ordem 3 possui três linhas e três colunas. Uma matriz genérica é representada por:

Matriz e sistema linear - matematica, matriz, relação entre matriz e sistema linear, sistema linear - relação entre matriz e sistema linear - image 23 - matemática
Relação entre matriz e sistema linear - matematica, matriz, relação entre matriz e sistema linear, sistema linear - matriz e sistema linear

O determinante da matriz 3 x 3 pode ser calculado utilizando a Regra de Sarrus.

Matriz e sistema linear - matematica, matriz, relação entre matriz e sistema linear, sistema linear - relação entre matriz e sistema linear - image 24 - matemática
Relação entre matriz e sistema linear - matematica, matriz, relação entre matriz e sistema linear, sistema linear - matriz e sistema linear

Sistema linear

Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir:

Exemplo de sistema linear
Exemplo de sistema linear

A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é o resultado de cada uma das equações deste.

Os coeficientes das incógnitas são números reais. Ao mesmo tempo, b também é um número real e é chamado de termo independente.

Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente será igual a 0, como por exemplo:

a1x1 + a2x2 = 0

Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0, não são homogêneos:

a1x1 + a2x2 = 3.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados de acordo com o número de soluções possíveis. Uma vez em que a solução das equações é encontrada pela substituição das variáveis por valores. Esses sistemas podem ser classificados em:

  • Sistema Possível e Determinado (SPD): existe apenas uma solução possível para esse tipo de sistema linear, o que acontece quando o determinante é diferente de zero
  • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis possíveis para esses sistemas lineares são infinitas
  • Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução para esse sistema linear

As matrizes ligadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas, dependendo se consideram os termos independentes das equações, sendo essas as completas.

Os sistemas lineares serão classificados como normais quando o número de equações for o mesmo que o número de incógnitas, e o determinante da matriz incompleta desse sistema não for igual a zero.

Relação entre matriz e sistema linear

Os sistemas lineares são formados por um conjunto de equações lineares de m incógnitas. Todos os sistemas possuem uma representação matricial, ou seja, constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal.

Observe a representação matricial do seguinte sistema:

2x + 9y = -20
7x – 5y = 6

Matriz incompleta (coeficientes numéricos)

A = 2 9
7 -5

Matriz completa

B = 2 9 -20
7 -5 6

Representação Matricial

2 9 . x = -20
7 -5 y 6

A relação existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resolução de sistemas pelo método de Cramer.

Por exemplo:

2x – y + z = 2
x + y + z = 6
x – y + 2z = 5

Ao aplicar a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear, utilizamos Sarrus no cálculo do determinante das matrizes estabelecidas:

B = 2 -1 1
1 1 1 -> D = 5
1 -1 2

Substituímos a 1ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema. Desta forma:

Bx = 3 -1 1
6 1 1 -> Dx = 5
5 -1 2

Então, substituímos a 2ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema:

By = 2 3 1
1 6 1 -> Dy = 10
1 5 2

Por fim, substituímos a 3ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema:

Bz = 2 -1 3
1 1 6 -> Dz = 15
1 -1 5

Por tanto, de acordo com regra de Cramer, chegamos à:

x = Dx/D = 5/5 = 1

y = Dy/D = 10/5 = 2

z = Dz/D = 15/5 = 3

Portanto, o conjunto solução do sistema de equações é: x = 1, y = 2 e z = 3. 

FAQ – Perguntas frequentes matriz e sistema linear

Qual a relação de matriz e sistema linear?

Os sistemas lineares são formados por um conjunto de equações lineares de m incógnitas. Todos os sistemas possuem uma representação matricial, ou seja, constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal.

O que é uma matriz?

Podemos definir matriz como uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical). A função das matrizes é relacionar dados numéricos.

O que é um sistema linear?

Já um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.

Gostou do conteúdo? Não se esqueça de nos seguir nas redes sociais para ficar por dentro de tudo!

Deixe um comentário