Entenda de uma Vez por Todas como Funciona a Razão e Proporção em Matemática

Razão e Proporção são temas que estão diretamente relacionados à divisão. De modo simplificado, podemos afirmar que existe uma proporção quando há igualdade entre duas ou mais razões. Apesar de pertenceram à matemática, noções de razão e proporção também são aplicadas em outras áreas como, por exemplo, o Homem Vitruviano (1490) de Leonardo da Vinci, por exemplo, permite visualizar as proporções do corpo humano dentro das formas geométricas.

Atualmente, a razão e proporção continuam sendo fundamentais para a matemática e têm ampla aplicação em diversas áreas do conhecimento, como a física, a química, a economia e a engenharia, entre outras. O estudo desses conceitos é importante para o entendimento de problemas práticos e para a resolução de equações matemáticas complexas. Vamos falar sobre Razão e Proporção e, se você ficar com dúvidas, é só deixar nos comentários.

O que é Razão e Proporção

A razão e proporção são conceitos matemáticos fundamentais que permitem comparar grandezas e estabelecer relações entre elas. O estudo da razão e proporção remonta à Grécia Antiga, onde os filósofos e matemáticos pitagóricos foram os primeiros a explorar o tema.

O termo “razão” vem do latim “ratio”, que significa comparação, e se refere à relação entre duas grandezas de mesma natureza. Por exemplo, se quisermos comparar a altura de duas pessoas, podemos utilizar a razão entre as alturas, que é o resultado da divisão entre a altura da primeira pessoa e a altura da segunda pessoa.

Já o termo “proporção” vem do latim “proportio”, que significa relação de proporção, e se refere à comparação entre grandezas de naturezas diferentes. Por exemplo, se quisermos comparar a quantidade de açúcar e de farinha em uma receita de bolo, podemos utilizar a proporção entre as quantidades, que é a razão entre a quantidade de açúcar e a quantidade de farinha.

O estudo da razão e proporção teve grande importância na matemática grega, em especial na escola pitagórica, onde se acreditava que todas as grandezas podiam ser expressas em termos de razões de números inteiros. Esse conceito foi fundamental para a descoberta dos números irracionais, que não podem ser expressos como uma razão de números inteiros.

Além disso, a razão e proporção tiveram grande aplicação na geometria, onde se estudava a relação entre as medidas dos lados de figuras geométricas. Por exemplo, a proporção entre os lados de um triângulo retângulo é conhecida como teorema de Pitágoras, que estabelece que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

O Uso da Razão e Proporção

Na matemática, a razão é frequentemente representada como uma fração, em que o numerador é a primeira grandeza e o denominador é a segunda grandeza. Por exemplo, se quisermos comparar o peso de duas pessoas, podemos utilizar a razão entre os pesos, que é o resultado da divisão entre o peso da primeira pessoa e o peso da segunda pessoa, e pode ser representada como uma fração.

Já a proporção é uma relação entre grandezas de naturezas diferentes, e é frequentemente expressa como uma igualdade de duas razões. Por exemplo, se quisermos comparar a quantidade de açúcar e de farinha em uma receita de bolo, podemos utilizar a proporção entre as quantidades, que é a razão entre a quantidade de açúcar e a quantidade de farinha, e pode ser expressa como uma igualdade de duas frações.

A proporção é um conceito importante na matemática porque muitas vezes é possível resolver problemas de proporção através da regra de três simples, que é um método de resolução de problemas que utiliza proporções. A regra de três simples é utilizada quando se tem três grandezas proporcionais, ou seja, quando a relação entre as grandezas é a mesma. Por exemplo, se quisermos saber quantos litros de água são necessários para encher um tanque de 200 litros que já possui 60 litros, podemos utilizar a regra de três simples para encontrar a quantidade de água necessária.

A razão e proporção também são importantes na geometria, onde são utilizadas para comparar as medidas dos lados e ângulos de figuras geométricas. Por exemplo, a proporção entre os lados de um triângulo pode ser utilizada para determinar se o triângulo é equilátero, isósceles ou escaleno.

Em resumo, o estudo da razão e proporção é fundamental na matemática e tem ampla aplicação em diversas áreas do conhecimento, além de ser uma ferramenta útil para a resolução de problemas práticos. A compreensão desses conceitos é essencial para a resolução de problemas de matemática, tanto no âmbito escolar como na vida cotidiana.

Razão e Proporção da Matemática

Razão e proporção são temas importantes na matemática, isso porque eles estão relacionados à operação da divisão
Razão e proporção são temas importantes na matemática

Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo assim, trata-se do coeficiente entre dois números. Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, isto é, quando duas razões possuem o mesmo resultado. A razão está relacionada com a operação da divisão, e ambas as grandezas são proporcionais quando formam uma proporção. Essa é uma prática que utilizamos diariamente, para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos medidas proporcionais entre os ingredientes.

Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida devem sempre ser as mesmas. Os conceitos de razão e proporção estão ligados ao quociente. A razão é o quociente de dois números, e a proporção é a igualdade entre duas razões. A divisão é uma das quatro operações fundamentais da Matemática.

Algoritmo Fundamental da Divisão

O Algoritmo Fundamental da Divisão é um procedimento matemático utilizado para realizar divisões entre números inteiros maiores que zero. Ele é uma das operações fundamentais da aritmética, juntamente com a adição, subtração e multiplicação.

O algoritmo da divisão é um método utilizado para dividir um número por outro, obtendo um quociente como resultado e, algumas vezes, um resto.

Exemplo de termos da divisão
Exemplo de termos da divisão

O número que será dividido é chamado Dividendo (D), o número pelo qual o dividendo será dividido é chamado de divisor (d) e o resultado dessa divisão é chamado de Quociente (q). O algoritmo da divisão é realizado seguindo os seguintes passos:

  1. Escreva o dividendo (o número que será dividido) e o divisor (o número pelo qual o dividendo será dividido) um em cima do outro, alinhados à direita.
  2. Escreva o primeiro algarismo do dividendo abaixo do primeiro algarismo do divisor. Se o divisor for maior que o dividendo, escreva um zero abaixo do primeiro algarismo do divisor.
  3. Divida o primeiro algarismo do dividendo pelo divisor e escreva o resultado acima do primeiro algarismo do dividendo.
  4. Multiplique o divisor pelo resultado obtido e escreva o resultado abaixo do primeiro grupo de algarismos do dividendo.
  5. Subtraia o resultado da multiplicação do dividendo original e escreva o resultado abaixo.
  6. Repita os passos 2 a 5 para o próximo grupo de algarismos do dividendo até que todos os algarismos do dividendo tenham sido considerados.
  7. Quando a subtração final resultar em zero ou em um resto menor que o divisor, o algoritmo da divisão estará completo. O resultado da divisão será a soma dos resultados obtidos em cada etapa.

Sendo assim:

12 : 4 = 3

A prova real é feita de maneira invertida, ou seja, multiplicando o divisor e o quociente, se houver resto basta soma-lo.

12 = 4 . 3 + 0

Dividendo = Divisor . Quociente + Resto

O algoritmo da divisão é uma técnica útil para realizar divisões precisas e confiáveis, sendo amplamente utilizado em diversas áreas do conhecimento, como na matemática, física, química e engenharia, entre outras.

Divisão Horizontal Exata

A Divisão Horizontal Exata é um método de divisão utilizado em matemática, que consiste em dividir uma quantidade em partes iguais. Em outras palavras, essa divisão busca distribuir uma quantidade de forma uniforme em partes exatamente iguais. Por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e quisermos dividi-la em seis partes iguais, cada fatia será exatamente do mesmo tamanho. Da mesma forma, se tivermos um total de R$ 100,00 e desejarmos dividi-lo em 10 partes iguais, cada parte será de R$ 10,00.

Para realizar uma divisão horizontal exata, basta dividir o número total pelo número de partes que desejamos obter. Se a divisão for exata, cada parte terá o mesmo valor. Caso contrário, pode ser necessário arredondar o resultado ou utilizar frações para representar as partes. A divisão horizontal exata é utilizada em diversas áreas do conhecimento, como matemática, física, economia, entre outras. Ela é especialmente importante em situações em que precisamos dividir recursos, distribuir tarefas ou calcular probabilidades de eventos. Divisão horizontal exata é quando a conta não possui resto.

Fração

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros. Fração é um conceito matemático que representa uma parte de um todo, expressa por meio de uma divisão entre dois números. O número que fica acima da linha horizontal é chamado de numerador, e indica quantas partes do todo estamos considerando. O número que fica abaixo da linha horizontal é chamado de denominador, e indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.

Por exemplo, a fração 3/4 representa três partes de um todo que foi dividido em quatro partes iguais. Isso pode ser visualizado em uma figura geométrica, como um quadrado dividido em quatro partes iguais, em que três dessas partes são coloridas.

Exemplo de fração
Exemplo de fração

As frações podem ser utilizadas em diversas situações, como na representação de medidas, porcentagens, proporções, entre outras. Além disso, as frações podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas entre si, seguindo algumas regras matemáticas específicas. É importante destacar que as frações podem ser simplificadas, ou seja, podemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número para obter uma fração equivalente. Por exemplo, a fração 2/4 pode ser simplificada para 1/2, dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 2.

Também é possível transformar frações em números decimais, realizando a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo, a fração 3/4 pode ser transformada em 0,75. As frações são um conceito fundamental da matemática e são amplamente utilizadas em diversas áreas do conhecimento, desde o cálculo de medidas simples até em situações mais complexas envolvendo proporções e porcentagens.

Exemplo:

9 = 3
3      

A fração também pode ser considerada como o quociente entre dois números. Quando isso acontece, a fração é uma razão:

Razão entre 30 e 100
Razão entre 30 e 100

Razão e Proporção em Exemplos

Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. Determine as razões descritas abaixo:

a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos.

Número de meninas: 20

Total de alunos: 50

A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que é uma divisão representada como fração:

20 = 0,4
50         

b) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos.

Número total de meninos: 30

Número total de alunos: 50

A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos:

30 = 0,6
50         

Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção:

Proporção: é a igualdade de duas razões.

Representamos a proporção da seguinte forma:

externo ← = c → meio
        meio ← b    d → externo

A proporção obedece à seguinte propriedade: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”.

a = c
b    d
b . c = a . d

Vamos praticar um pouco o conceito estudado por meio dos exemplos abaixo:

Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”.

a) 2 = 5
    x   10

5 . x = 2 . 10

5x = 20

x = 20
      5

x = 4

b) 1,5 = x
      3    2

3 . x = 2 . 1, 5

3x = 3

x = 3
      3

x = 1

Escreva as razões, determine a proporção e encontre o valor de x no problema a seguir:

A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em determinada hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é a altura do prédio?

A fração das duas razões devem ser estruturadas com a medida do prédio no numerador e a medida da sombra no denominador. O que queremos encontrar é a medida do prédio, que chamaremos de x, quando a sombra mede 4 m.

15 = x
 5     4

5x = 60

x = 60
       5

x = 12 m

O prédio possui 12 metros de altura.

FAQ Rápido

O que é razão?

Razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo assim, trata-se do coeficiente entre dois números.

O que é proporção?

A proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, isto é, quando duas razões possuem o mesmo resultado.

O que é algoritmo fundamental da divisão?

O algoritmo da divisão é um método utilizado para dividir um número por outro, obtendo um quociente como resultado e, algumas vezes, um resto. O número que será dividido é chamado Dividendo (D), o número pelo qual o dividendo será dividido é chamado de divisor (d) e o resultado dessa divisão é chamado de Quociente (q).

O que é divisão horizontal exata?

Divisão horizontal exata é quando a conta não possui resto.
Exemplo:
9 : 3 = 3

O que é fração?

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros.
Exemplo:
9 = 3
3      
A fração também pode ser considerada como o quociente entre dois números.

Onde usamos no dia a dia?

Quando você vai à feira comprar 1,5 kg de tomate. O vendedor informa que o quilo do tomate custa R$ 2,50. Outro exemplo na utilização de razão e proporção é na cozinha, utilizamos medidas proporcionais entre os ingredientes. Encontramos aplicações do estudo em outras áreas como a construção civil, economia e contabilidade.

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