Entenda trigonometria de forma fácil

trigonometria é a área da geometria plana euclidiana que estuda a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados. As razões trigonométricas principais são o seno, o cosseno e a tangente.

Na trigonometria, é possível também encontrar o valor dessas razões por meio da representação no ciclo trigonométrico, que permite encontrar o valor de cada uma das razões por meio do ângulo, o que torna possível tratar as razões trigonométricas como funções.

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A trigonometria é a área da geometria plana euclidiana que estuda a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados
A trigonometria é a área da geometria plana euclidiana que estuda a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados

O que é trigonometria

Ao longo dos estudos da geometria plana, o triângulo sempre chamou bastante a atenção desde os primeiros estudos matemáticos. O aprofundamento do estudo dos triângulos, levou ao desenvolvimento da trigonometria, que hoje é a área da Matemática que se dedica as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo.

A razão entre dois lados de um triângulo sempre será proporcional ao ângulo. De acordo com essa constatação, chegamos ao desenvolvimento do que chamamos de razões trigonométricas. Inicialmente o estudo foi aplicado apenas em triângulos retângulos, mas hoje sabemos que pode ser aplicado para quaisquer triângulos. A trigonometria foi fundamental para o avanço da ciência, sendo aplicada em diversas áreas de conhecimentos.

Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos. Analisando a proporção entre os lados de um triângulo desse tipo, é possível definir as razões trigonométricas, sendo elas o seno, o cosseno e a tangente.

A hipotenusa é o nome dado ao maior lado de um triangulo retângulo, que está sempre oposto ao ângulo de 90º. Os outros lados são chamados de catetos. Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente, precisamos utilizar um ângulo como referência, por isso os catetos são chamados de cateto oposto (o lado que está de frente para o ângulo) e cateto adjacente (o lado que forma o ângulo junto à hipotenusa).

A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos
A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos

Ao analisar o triângulo retângulo, antes de saber quais são as razões trigonométricas, precisamos conseguir identificar cada um dos lados de acordo com o ângulo.

Ângulos notáveis

Além de conhecer as razões trigonométricas, existem os chamados ângulos notáveis. Esses ângulos são os que mais aparecem na resolução de problemas em provas e vestibulares. Sendo eles os ângulos de 30º, 45º e 60º. Para conhecer o valor do seno e do cosseno de cada um deles, utilizamos a seguinte tabela:

Tabela dos ângulos notáveis
Tabela dos ângulos notáveis

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico, conhecido também como ciclo trigonométrico é utilizado para encontrar o valor do seno, cosseno e tangente de variados ângulos, para além dos ângulos notáveis. 

O círculo é construído no plano cartesiano e possui raio 1. No eixo vertical, encontramos o valor referente ao seno do ângulo e, no eixo horizontal, o valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo da tangente.

A partir do ciclo trigonométrico, conseguimos definir as funções trigonométricas, que utilizamos em problemas envolvendo essas razões.
A partir do ciclo trigonométrico, conseguimos definir as funções trigonométricas, que utilizamos em problemas envolvendo essas razões

Funções trigonométricas

Pensando nas principais razões trigonométricas, temos a função seno e a função cosseno.

Função seno

Seja x um número real, a função seno possui lei de formação igual a f(x) = sen(x) R → R.

O gráfico da função seno é chamado de senoide ou gráfico senoidal. Ele é o que chamamos de cíclico, pois os valores do seno estão sempre entre 1 e -1 e se repetem de forma cíclica, gerando o formato de ondas característico nesse gráfico.

Função cosseno

A função cosseno possui um comportamento bastante parecido com o da função seno, gerando um gráfico também cíclico, com imagem entre 1 e -1.

Podemos definir como função cosseno aquela que a lei de formação é f(x) = cos (x).

Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são as relações existentes entre as razões trigonométricas. Durante a resolução de problemas, utilizamos essas identidades para facilitar os cálculos.

Existem diversas identidades trigonométricas, sendo as principais a relação fundamental da trigonometria, as funções inversas, as identidades relacionadas à simetria, seno e cosseno da soma ou diferença entre dois ângulos e a tangente da soma ou diferença entre dois ângulos.

Relação fundamental da trigonometria

sen²x + cos² x = 1

Funções inversas

cossec x = 1/sen x

sec x = 1/sen x

cotg x = 1/tg x

Identidades relacionadas à simetria

sen ( -x) = – sen (x)

cos (- x) = cos (x)

tan (-x) = – tan (x)

Seno e cosseno da soma ou da diferença entre dois ângulos

sen (x + y) = sen x · cos y + cos x · sen y

sen (x – y) = sen x · cos y – cos x · sen y

cos (x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y

cos (x – y) = cos x · cos y + sen x · sen y

Tangente da soma ou da diferença entre dois ângulos

tan (x+y) = tan x + tan y / 1 – tan x . tan y

tan (x-y) tan x – tan y / 1 + tan x . tan y

Usos da trigonometria no dia a dia

A trigonometria possui as mais variadas aplicações na âmbito da Física e Matemática. Por exemplo em algumas situações da cinética em que se utilizam vetores que formam triângulos, sendo necessária a aplicação da trigonometria.

As funções trigonométricas podem ser aplicadas em situações que se comportam como ondas, aplicações na arquitetura, programação, construção civil, astronomia e em situações em que é necessário encontrar alturas inacessíveis.

FAQ – Perguntas frequentes

O que é trigonometria?

trigonometria é a área da geometria plana euclidiana que estuda a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados. As razões trigonométricas principais são o seno, o cosseno e a tangente.
Na trigonometria, é possível também encontrar o valor dessas razões por meio da representação no ciclo trigonométrico, que permite encontrar o valor de cada uma das razões por meio do ângulo, o que torna possível tratar as razões trigonométricas como funções.

Qual a relação da trigonometria com o triângulo retângulo?

A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos. Analisando a proporção entre os lados de um triângulo desse tipo, é possível definir as razões trigonométricas, sendo elas o seno, o cosseno e a tangente.
A hipotenusa é o nome dado ao maior lado de um triangulo retângulo, que está sempre oposto ao ângulo de 90º. Os outros lados são chamados de catetos. Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente, precisamos utilizar um ângulo como referência, por isso os catetos são chamados de cateto oposto (o lado que está de frente para o ângulo) e cateto adjacente (o lado que forma o ângulo junto à hipotenusa).

O que são ângulos notáveis?

Além de conhecer as razões trigonométricas, existem os chamados ângulos notáveis. Esses ângulos são os que mais aparecem na resolução de problemas em provas e vestibulares. Sendo eles os ângulos de 30º, 45º e 60º

O que é círculo trigonométrico?

O círculo trigonométrico, conhecido também como ciclo trigonométrico é utilizado para encontrar o valor do seno, cosseno e tangente de variados ângulos, para além dos ângulos notáveis. 
O círculo é construído no plano cartesiano e possui raio 1. No eixo vertical, encontramos o valor referente ao seno do ângulo e, no eixo horizontal, o valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo da tangente.

O que são identidades trigonométricas?

As identidades trigonométricas são as relações existentes entre as razões trigonométricas. Durante a resolução de problemas, utilizamos essas identidades para facilitar os cálculos.
Existem diversas identidades trigonométricas, sendo as principais a relação fundamental da trigonometria, as funções inversas, as identidades relacionadas à simetria, seno e cosseno da soma ou diferença entre dois ângulos e a tangente da soma ou diferença entre dois ângulos.

Onde a trigonometria é usada?

A trigonometria possui as mais variadas aplicações na âmbito da Física e Matemática. Por exemplo em algumas situações da cinética em que se utilizam vetores que formam triângulos, sendo necessária a aplicação da trigonometria.
As funções trigonométricas podem ser aplicadas em situações que se comportam como ondas, aplicações na arquitetura, programação, construção civil, astronomia e em situações em que é necessário encontrar alturas inacessíveis.

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